Дифференцируемость сложной функции

Пусть: - $f(x) = f(x_1, \ldots, x_m)$ дифференцируема в точке $x^0$ - $x_1(t), \ldots, x_m(t)$ дифференцируемы в точке $t^0 = (t_1^0, \ldots, t_s^0)$ - $x^0 = (x_1(t^0), \ldots, x_m(t^0))$ То сложная функция $g(t) = f(x_1(t), \ldots, x_m(t))$ дифференцируема в точке $t^0$ и $$g'_{t_j}(t^0) = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0) \cdot \frac{\partial x_k}{\partial t_j}(t^0)$$

По определению дифференцируемости имеем: $$\Delta f = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} \Delta x_k + o(||\Delta x||),$$ $$\Delta x_k = \sum_{j=1}^s \frac{\partial x_k}{\partial t_j} \Delta t_j + o(||\Delta t||), \quad j=1, \ldots, s.$$ Подставим выражение для $\Delta x_k$ в формулу для $\Delta f$: $$\Delta g = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} \left(\sum_{j=1}^s \frac{\partial x_k}{\partial t_j} \Delta t_j + o(||\Delta t||)\right) + o(||\Delta x||).$$ Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $$\begin{aligned} \Delta g &= \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} \sum_{j=1}^s \frac{\partial x_k}{\partial t_j} \Delta t_j + \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} o(||\Delta t||) + o(||\Delta x||) \\ &= \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial x_k}{\partial t_j} \Delta t_j + o(||\Delta t||) + o(||\Delta x||). \end{aligned}$$ Оценим $||\Delta x||$ в метрике $\rho_{1}$: $$||\Delta x||_{1} = \sum_{k=1}^{m} |\Delta x_{k}| = \sum_{k=1}^{m} \left| \sum_{j=1}^{s} \dfrac{\partial x_{k}}{\partial t_{j}}\Delta t_{j} + o(||\Delta t||) \right| \leq \sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{s} \left| \dfrac{\partial x_{k}}{\partial t_{j}} \right| ||\Delta t|| + o(||\Delta t||)$$ (Пользуемся неравенством треугольника) Это означает, что $o(||\Delta x||)$ можно заменить на $o(||\Delta t||)$. Таким образом, окончательное выражение для $\Delta g$ принимает вид: $$\Delta g = \sum_{j=1}^s \left(\sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{\partial x_k}{\partial t_j}\right) \Delta t_j + o(||\Delta t||).$$ По определению дифференцируемости, коэффициенты при $\Delta t_j$ являются частными производными $g'_{t_j}(t^0)$, вычисленными в точке $t^0$. Следовательно, $$g'_{t_j}(t^0) = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0) \cdot \frac{\partial x_k}{\partial t_j}(t^0).$$ Что и требовалось доказать. $\square$